Si un polígono tiene n lados, entonces el número total de diagonales D que se pueden trazar entre sus vértices es:
Ejemplos:
1) Determinar el número total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono.
Solución:
El número de lados del pentágono es 5, por lo tanto, para determinar el número total de diagonales reemplazamos n por 5 en:
Entonces, en un pentágono podemos trazar 5 diagonales en total.
Explicaremos en forma empírica la obtención de la fórmula. Para que sea realmente una demostración de ella, debemos reemplazar el caso particular, en este caso 5, por el caso general, es decir, n.
Dibujemos el pentágono y sus diagonales:
Desde cada uno de sus vértices (5) podemos trazar 2 diagonales, (d = n-3); eso nos da un total de 10 diagonales. Pero cada una de ellas está considerada 2 veces(desde cada extremo); por lo tanto, debemos dividir el número obtenido (10) por 2, y obtenemos las 5 diagonales del pentágono.
1) Si en un polígono se pueden trazar un total de 9 diagonales. ¿De qué polígono se trata?
Solución:
Para determinar el número de lados del polígono debemos reemplazar el número de diagonales en la fórmula:
Y obtenemos:
Aquí obtuvimos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:
n = - 3; n = 6
Pero como este caso n representa el número de lados del polígono, este no puede ser un número negativo; por lo tanto, descartamos la solución n = - 3 y concluimos que polígono tiene 6 lados, es decir, se trata de un hexágono.
1) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un triángulo.
2) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un cuadrilátero.
3) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un endecágono.
4) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 16 lados.
5) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 18 lados.
6) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 13 lados.
7) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 27 diagonales.
8) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 20 diagonales.
9) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 54 diagonales.
10) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 90 diagonales.
11) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 5 diagonales.
12) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 14 diagonales.
R.-
3) 0 4) 2 5) 44 6) 104
7) 135 8) 65 9) 9 10) 8
11) 12 12) 15 13) 5 14) 7
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