sábado, 13 de junio de 2009

Polígonos

TEMARIO
  1. Definición
  2. Elementos de un polígono
  3. Propiedes de los polígonos convexo
  • 3.1.- Suma de los ángulos interiores
  • 3.2.- Suma de los ángulos exteriores
  • 3.3.- Número de diagonales trazadas desde un vértice.
  • 3.4.- Número total de diagonales.

1.- Definición:

Polígono: Porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).

Se llama línea poligonal a la unión continua de segmentos, de modo que dos segmentos sucesivos tienen sólo un extremo en común, como el de la siguiente figura





Una poligonal cerrada simple es aquella que no puede cortarse a si misma, es decir, aquella en la cual dos segmentos no sucesivos no pueden tener puntos en común.

Un polígono es la porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

Ejemplos de polígonos


Las siguientes figuras no son polígonos: Observe en cada caso por qué no lo son


Un polígono queda determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos, que son los que forman cada dos lados consecutivos.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.



2.- ELEMENTOS DE UN POLÍGONO


Consideremos el siguiente polígono





LADOS: Son los trazos o segmentos que determinan el polígono. En la figura, los lados son AB; BC; DE y EA.


VÉRTICES: Son los puntos de intersección de dos lados consecutivos. Los vértices del polígono de la figura son: A, B, C, D y E. En general un polígono se nombra por sus vértices.


DIAGONALES: Son los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos. Algunas de las diagonales del polígono de la figura son AC, AD, BD y CE.


ÁNGULOS INTERIORES: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. El vértice del ángulo es el punto de intersección de estos lados. En la figura el ángulo EAB es el ángulo interior del polígono.


ÁNGULOS EXTERIORES: Son los ángulos formado por un lado del polígono y la prolongación de un lado consecutivo, de modo que el vértice del ángulo es el punto de intersección de estos lados. El ángulo FBC es un ángulo exterior del polígono.


El número de lados de un polígono es igual al número de vértices, al número de ángulos interiores y al número de ángulos exteriores.


El polígono con menor número de lados es el triángulo.


En general, el nombre de los polígonos depende del número de lados:


· El polígono de tres lados se llama triángulo.


· El polígono de cuatro lados cuadrilátero.


· El polígono de cinco lados pentágono.


· El polígono de seis lados hexágono


· El polígono de siete lados heptágono


· El polígono de ocho lados octógono


· El polígono de nueve lados eneágono


· El polígono de diez lados decágono


· El polígono de once lados endecágono


· El polígono de doce lados dodecágono


· El polígono de quince lados pentadecágono


Y, en general, se denomina n-ágono al polígono de n lados.


No existen nombres para polígonos con un número de lados diferentes a los dados en esta tabla.


En general los polígonos de más de 10 lados se mencionan sólo indicando el número de lados.








Un polígono se dice convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.




Si alguno de los ángulos de un polígono mide más de 180°, entonces este polígono se llama cóncavo. En la siguiente figura vemos que el ángulo CDE mide más de 180°.

3.- PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS.



3.1.- Suma de ángulos interiores


Si un polígono tiene n lados, entonces la suma de sus ángulos interiores.



Ejercicios:


1) Determinemos la suma de los ángulos interiores de un pentágono:


El pentágono es el polígono de 5 lados; por lo tanto, para determinar la suma de sus ángulos interiores reemplazamos n por 5 en:





La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 540°



2) Determina la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:


· Un triángulo

· Un cuadrilátero

· Un hexágono

· Un heptágono

· Un octágono

· Un eneágono

· Un decágono

· Un endecágono

· Un dodecágono

· Un pentadecágono


















































3.2.- ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados?


A) 1.260°

B) 1.080°

C) 900°

D) 720°

E) 360°




































4) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.260°, ¿De qué polígono se trata?







































Y concluimos que el polígono tiene 9 lados, es decir, se trata de un eneágono.



5) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 2.340°, ¿De qué polígono se trata?



A) Dodecágono

B) Pentadecágono

C) Pentágono

D) Endecágono

E) Eneágono








































Por lo tanto, el polígono es un pentadecágono.





6) Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 1.800°, ¿De qué polígono se trata?



A) Dodecágono

B) Pentadecágono

C) Pentágono

D) Endecágono

E) Eneágono






































Por lo tanto, el polígono es un dodecágono.



3.2.- SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES


La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.







Ejercicios:


1) Determinar la suma de los ángulos exteriores de un polígono de 14 lados:


A) 90°

B) 180°

C) 270°

D) 360°

E)


2) Determinar el grado del ángulo exterior Z, si tenemos que x = 120° e Y = 99°.


A) 151°

B) 41°

C) 100°

D) 141°

E) Ninguna de las anteriores



























3.3.- NÚMERO DE DIAGONALES TRAZADAS DESDE UN VÉRTICE


Si un polígono tiene n lados, entonces el número de diagonales d que se pueden trazar desde cualquiera de sus vértices es:


¿Cómo podemos visualizar la propiedad anterior?


Consideremos, por ejemplo, un octógono, es decir, un polígono de 8 lados.






Desde uno de sus vértices, por ejemplo desde el vértice H, podemos trazar diagonales a cualquiera de los otros, con la excepción de los vértices contiguos (A y G) y del mismo vértice H. Por lo tanto, desde un vértice cualquiera podemos trazar diagonales a todos los otros con la excepción de tres de ellos.







1) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de 21 lados:


d = n – 3

d = 21 – 3

d = 18



2) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono dodecágono:



3) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono decágono:



4) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono pentadecágono:



5) Determine el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de 16 lados:


















R: 2) 9 3) 7 4) 12 5) 13


6) ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?


  • I) Un polígono cuyos ángulos interiores suman 720° tiene 6 lados.


  • II) Desde un vértice de un octógono se pueden trazar 6 diagonales.


  • III) Los ángulos exteriores de un polígono de 17 lados suman 360°.


A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y III

E) I, II y III





















I)





II)


d = n – 3

d = 8 – 3

d = 5


Por lo tanto, desde un vértice de un octógono se pueden trazar 5 diagonales.



III) La suma de los ángulos exteriores de un polígono es siempre 360 °.



R. D





3.4.- NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES


Si un polígono tiene n lados, entonces el número total de diagonales D que se pueden trazar entre sus vértices es:





Ejemplos:


1) Determinar el número total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono.


Solución:


El número de lados del pentágono es 5, por lo tanto, para determinar el número total de diagonales reemplazamos n por 5 en:






Entonces, en un pentágono podemos trazar 5 diagonales en total.


Explicaremos en forma empírica la obtención de la fórmula. Para que sea realmente una demostración de ella, debemos reemplazar el caso particular, en este caso 5, por el caso general, es decir, n.


Dibujemos el pentágono y sus diagonales:







Desde cada uno de sus vértices (5) podemos trazar 2 diagonales, (d = n-3); eso nos da un total de 10 diagonales. Pero cada una de ellas está considerada 2 veces(desde cada extremo); por lo tanto, debemos dividir el número obtenido (10) por 2, y obtenemos las 5 diagonales del pentágono.



2) Si en un polígono se pueden trazar un total de 9 diagonales. ¿De qué polígono se trata?


Solución:


Para determinar el número de lados del polígono debemos reemplazar el número de diagonales en la fórmula:











Y obtenemos:


















Aquí obtuvimos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:



n = - 3; n = 6



Pero como este caso n representa el número de lados del polígono, este no puede ser un número negativo; por lo tanto, descartamos la solución n = - 3 y concluimos que polígono tiene 6 lados, es decir, se trata de un hexágono.



EJERCICIOS:


1) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un triángulo.


2) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un cuadrilátero.


3) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un endecágono.


4) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 16 lados.


5) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 18 lados.


6) Determine el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 13 lados.


7) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 27 diagonales.


8) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 20 diagonales.


9) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 54 diagonales.


10) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 90 diagonales.


11) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 5 diagonales.


12) Determine el número lados del polígono en el que se pueden trazar en total 14 diagonales.


R.-

3) 0 4) 2 5) 44 6) 104

7) 135 8) 65 9) 9 10) 8

11) 12 12) 15 13) 5 14) 7